题目

如图，在三棱柱ABC− 中， 平面ABC，D，E，F，G分别为 ，AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC= =2． （1） 求证：AC⊥平面BEF； （2） 求二面角B−CD−C1的余弦值； （3） 证明：直线FG与平面BCD相交． 答案： 证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四边形A1ACC1为矩形． 又E，F分别为AC，A1C1的中点， ∴AC⊥EF． ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面BEF 解：由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1． 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC． ∵BE ⊂ 平面ABC，∴EF⊥BE． 如图建立空间直角坐称系E-xyz． 由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． ∴ CD⇀=(2 ， 0 ， 1) ， CB⇀=(1 ， 2 ， 0)  ， 设平面BCD的法向量为 n=(a ， b ， c) ， ∴ {n⋅CD⇀=0n⋅CB⇀=0 ，∴ {2a+c=0a+2b=0 ， 令a=2，则b=-1，c=-4， ∴平面BCD的法向量 n=(2 ， −1 ， −4) ， 又∵平面CDC1的法向量为 EB⇀=(0 ， 2 ， 0) ， ∴ cos〈n→⋅EB⇀〉=n→⋅EB⇀|n→||EB⇀|=−2121 ． 由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为 −2121 证明：平面BCD的法向量为 n→=(2 ， −1 ， −4) ，∵G（0，2，1），F（0，0，2）， ∴ GF⇀=(0 ， −2 ， 1) ，∴ n→⋅GF⇀=−2 ，∴ n→ 与 GF⇀ 不垂直， ∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．

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