题目

某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量 （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量 （千克）与使用某种液体肥料的质量 （千克）之间的关系如图所示. 附：相关系数公式 ， 参考数据： ， . （1） 依据上图，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系？请计算相关系数 并加以说明（精确到0.01）.（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2） 蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量 限制，并有如下关系： 周光照量 （单位：小时） 光照控制仪运行台数 3 2 1 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 答案： 解：由已知数据可得 x¯=2+4+5+6+85=5 ， y¯=3+4+4+4+55=4 . ∵ ∑i=15(xi−x¯)(yi−y¯)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6 ， ∑i=15(xi−x¯)2=(−3)2+(−1)2+02+12+32=25 ， ∑i=15(yi−y¯)2=(−1)2+02+02+02+12=2 . ∴相关系数 r=∑i=15(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=15(xi−x⇀)2∑i=15(yi−y⇀)2   =625×2=910≈0.95 . ∵ r>0.75 ，∴可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系. 解：记商家周总利润为 Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪. ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元. ②安装2台光照控制仪的情形： 当 X>70 时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=3000−1000=2000 （元）， P(Y=2000)=1050=0.2 ， 当 30<X≤70 时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y=2×3000=6000 （元）， P(Y=6000)=4050=0.8 ， 故 Y 的分布列为 Y 2000 6000 P 0.2 0.8 ∴ EY=2000×0.2+6000×0.8=5200 （元）. ③安装3台光照控制仪的情形： 当 X>70 时，只有1台光照控制仪运行， 此时周总利润 Y=1×3000−2×1000=1000 （元）， P(Y=1000)=1050=0.2 ， 当 50≤X≤70 时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=2×3000−1×1000=5000 （元）， P(Y=5000)=3550=0.7 ， 当 30<X<50 时，3台光照控制仪都运行， 周总利润 Y=3×3000=9000 （元）， P(Y=9000)=550=0.1 ， 故 Y 的分布列为 Y 1000 5000 9000 P 0.2 0.7 0.1 ∴ EY=1000×0.2+5000×0.7+9000×0.1=4600 （元）. 综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.

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