题目

若函数满足且 ， 则称函数为“函数”. （1） 试判断是否为“函数”，并说明理由； （2） 函数为“函数”，且当时， ， 求的解析式，并写出在上的单调递增区间； （3） 在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为 ， 求. 答案： 解：函数f(x)=sin4x3不是为“M函数”，理由如下：因为f(π4+x)=sin[43(π4+x)]=sin(π3+4x3)，f(π4−x)=sin[43(π4−x)]=sin(π3−4x3)，所以，f(π4+x)≠f(π4−x)(x∈R)，因此，函数f(x)=sin4x3不是为“M函数”. 解：函数f(x)满足f(x)=f(x+3π2)，所以，函数f(x)为周期函数，且周期为T=3π2，因为f(π4+x)=f(π4−x)(x∈R)，则f(x)=f(π2−x)(x∈R).①当x∈[3kπ2+π4，3kπ2+π](k∈Z)时，x−3kπ2∈[π4，π](k∈Z)，则f(x)=f(x−3kπ2)=sin(x−3kπ2)(k∈Z)；②当x∈[3kπ2−π2，3kπ2+π4](k∈Z)，则x−3kπ2∈[−π2，π4](k∈Z)，则π2−(x−3kπ2)∈[π4，π](k∈Z)，所以，f(x)=f[π2−(x−3kπ2)]=sin[π2−(x−3kπ2)]=cos(x−3kπ2)(k∈Z).综上所述，f(x)={cos(x−3kπ2)，3kπ2−π2≤x≤3kπ2+π4(k∈Z)sin(x−3kπ2)，3kπ2+π4<x≤3kπ2+π(k∈Z)，所以，函数f(x)在[0，3π2]上的单调递增区间为(π4，π2]、[π，3π2]. 解：由（2）可得函数f(x)在[−π2，π]上的图象如下图所示，下面考虑方程f(x)=a在区间[−π2，π]的根之和.①当0≤a<22或a=1时，方程f(x)=a有两个实数解，其和为π2；②当a=22时，方程f(x)=a有三个实数解，其和为3π4；③当22<a<1时，方程f(x)=a有四个实数解，其和为π.当x∈[−π2，3kπ2+π](k∈N)时，关于x的方程f(x)=a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S(k)，所以，当a=0时，S(3)=−π2×4+3π2×(1+2+3)=7π；当0<a<22或a=1时，S(3)=2×[π4×4+3π2×(1+2+3)]=20π；当a=22时，S(3)=3×[π4×4+3π2×(1+2+3)]=30π；当22<a<1时，S(3)=4×[π4×4+3π2×(1+2+3)]=40π.因此，S(3)={7π，a=020π，0<a<22或a=130π，a=2240π，22<a<1.

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