题目

如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF （1） 求证：AF是⊙O的切线； （2） 连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长． 答案： 证明：∵AC平分∠BCD ∴∠ACB＝∠ACD，    ∵AE∥BC ∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD ∴AE＝CE，且AE＝EF ∴AE＝CE＝EF ∴△CAF是直角三角形 ∴∠CAF＝90° ∴AF是⊙O的切线 解：连接AD， ∵AC是直径 ∴∠ABC＝90°＝∠ADC ∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90° ∴△ABC≌△ADC（AAS） ∴AB＝AD＝12，BC＝CD 在Rt△AED中，DE＝ AE2−AD2=5 ∵AE＝CE＝EF＝13 ∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18， ∵AE∥BC ∴ EGBC=EFCF=12 ∴EG＝9 ∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4

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