题目

如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1） 判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2） 过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值． 答案： 解：直线CD与⊙O的位置关系是相切．理由：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°， 即：OD⊥CE，∴直线CD 是⊙O的切线．即：直线CD 与⊙O的位置关系是相切． 解：∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2=3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则  （4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即  BE=6，∴tan∠BEC= 86=43 ，即：tan∠BEC= 43 ．

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