题目

已知函数 ，将 的图象向左移 个单位，得到函数 的图象. （1） 若 ，求 的单调区间； （2） 若 ， 的一条对称轴是 ，求 在 的值域. 答案： 解：由题意得 f(x)=2cos(2x+π6) y=f(x) 向左平移 π4 个单位得到 g(x)=2cos[2(x+π4)+π6]=2cos(2x+2π3) ， 增区间：解不等式 −π+2kπ≤2x+2π3≤2kπ (k∈Z) ，解得 kπ−5π6≤x≤kπ−π3 (k∈Z) ， 减区间：解不等式 2kπ≤2x+2π3≤2kπ+π (k∈Z) ，解得 kπ−π3≤x≤π6+kπ (k∈Z) . 综上可得， y=g(x) 的单调增区间为 (kπ−5π6,kπ−π3) (k∈Z) ， 减区间为 (kπ−π3,kπ+π6) (k∈Z) ； 解：由题易知， g(x)=2cos(2x+π6+2α) ， 因为 y=g(x) 的一条对称轴是 x=π12 ， 所以 π6+π6+2α=kπ ， k∈Z ，解得 α=kπ2−π6 ， k∈Z . 又因为 α∈(0,π2) ，所以 α=π3 ，即 g(x)=2cos(2x+5π6) . 因为 x∈[0,π2] ，所以 2x+5π6∈[5π6,11π6] ，则 cos(2x+5π6)∈[−1,32] ， 所以 y=g(x) 在 x∈[0,π2] 的值域是 [−2,3] .

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