题目

已知函数 ． （1） 若 在 处的切线斜率与k无关，求 ； （2） 若 ，使得 ＜0成立，求整数k的最大值． 答案： 解： f'(x)=(kx+k−1)ex−k ，即 f'(x)=k[(x+1)ex−1]−ex ， 由已知得 (x0+1)ex0−1=0 . 令 φ(x)=(x+1)ex−1 ，则 φ'(x)=(x+2)ex ， 当 x∈(−∞,−2) 时， φ'(x)<0 ， φ(x) 递减， ∵ x<−2 ，∴ x+1<−1 ，∴ (x+1)⋅ex<0 ，∴ (x+1)ex−1<0 ，因此 φ(x)<0 ； 当 x∈(−2,+∞) 时， φ'(x)>0 ， φ(x) 递增. 又 φ(0)=0 ，所以 φ(x) 只有唯一零点，故 x0=0 解： f(x)<0 ，即 k(xex−x+1)<ex . 当 x≥0 时，∵ ex−1≥0 ，∴ x(ex−1)≥0 ，∴ x(ex−1)+1>0 ； 当 x<0 时，∵ ex−1<0 ，∴ x(ex−1)>0 ，∴ x(ex−1)+1>0 . ∴ x(ex−1)+1>0 . ∴ k(xex−x+1)<ex 可等价转化为 k<exxex−x+1 . 设 g(x)=exxex−x+1 ，由题意 k<g(x)max . 又 g'(x)=ex(2−ex−x)(xex−x+1)2 ，令 h(x)=2−ex−x ，则 h'(x)=−ex−1<0 ， ∵ h'(x)<0 ，∴ h(x) 在 R 上单调递减， 又∵ h(0)>0 ， h(1)<0 ，∴ ∃x0∈(0,1) ，使得 h(x0)=0 ，即 ex0=2−x0 . 当 x∈(−∞,x0) 时， h(x)>0 即 g'(x)>0 ， g(x) 递增； 当 x∈(x0,+∞) 时， h(x)<0 即 g'(x)<0 ， g(x) 递减. ∴ g(x)max=g(x0)=ex0x0ex0−x0+1=2−x0x0(2−x0)−x0+1 =1x0−2+1x0−2+3 . 令 t=x0−2[t∈(−2,−1)] ，则 y=t+1t+3∈(12,1) ， ∴ g(x)max∈(1,2) ，故整数 k 的最大值为1

查看本题答案和解析