题目

如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB． （1） 求证：BG∥CD； （2） 设△ABC外接圆的圆心为O，若AB= DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小． 答案： 证明：如图1，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠PBC， ∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC， ∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD； 解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形BCDH是平行四边形， ∴BC=DH， 在Rt△ABC中，∵AB= 3 DH， ∴tan∠ACB= ABBC=3DHDH = 3 ， ∴∠ACB=60°，∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，BC= 12 AC， ∴DH= 12 AC， ①  当点O在DE的左侧时，如图2， 作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°， ∴∠AMD+∠ADM=90° ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠BDE+∠ABD=90°， ∵∠AMD=∠ABD， ∴∠ADM=∠BDE， ∵DH= 12 AC， ∴DH=OD， ∴∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20° ∵∠ADB=60°， ∴∠ADM+∠BDE=40°， ∴∠BDE=∠ADM=20°， ②  当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， ∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°， 综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．

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