题目

设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 在 轴的正半轴上，点 是抛物线上的一点，以 为圆心，2为半径的圆与 轴相切，切点为 .(I)求抛物线的标准方程：(Ⅱ)设直线 在 轴上的截距为6，且与抛物线交于 ， 两点，连接 并延长交抛物线的准线于点 ，当直线 恰与抛物线相切时，求直线 的方程. 答案：解：（Ⅰ）设抛物线方程为 x2=2py(p>0) ，∵以 A 为圆心，2为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F ，∴ p=2 ，∴该抛物线的标准方程为 x2=4y .（Ⅱ）由题知直线 m 的斜率存在，设其方程为 y=kx+6 ，由 {y=kx+6x2=4y 消取 y 整理得 x2−4kx−24=0 ，显然， Δ=16k2+96>0 ．设 P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，则 {x1+x2=4kx1•x2=−24 .抛物线在点 P(x1，x214) 处的切线方程为 y−x214=x12(x−x1) ，令 y=−1 ，得 x=x21−42x1 ，可得点 R(x12−42x1，−1) ，由 Q，F，R 三点共线得 kQF=kFR ，∴ x224−1x2=−1−1x12−42x1 ，即 (x21−4)(x22−4)+16x1x2=0 ，整理得 （x1x2)2−4[(x1+x2)2−2x1x2]+16+16x1x2=0 ，∴ (−24)2−4[(4k)2−2×(−24)]+16+16×(−24)=0 解得 k2=14 ，即 k=±12 ，∴所求直线 m 的方程为 y=12x+6 或 y=−12x+6

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