题目

已知函数 . （1） 判断并证明函数 的奇偶性. （2） 判断并用定义法证明函数 的单调性，并求不等式 的解集. 答案： 解： f(x) 是奇函数， 证明如下： f(x) 的定义域为 R ，关于原点对称， f(x)=2x−12x+1 ， ∴ f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x) ， 所以 f(x) 为奇函数 解： f(x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数. 证明：任取 x1 ， x2∈(0,+∞) ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1) ， ∵ x1 ， x2∈(−∞,+∞) ，且 x1<x2 ， ∴ 2x1−2x2<0 ， 2x1+1>0 ， 2x2+1>0 ， ∴ f(x1)−f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) ， ∴ f(x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数， ∵ f(x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数且 f(x2+3x)<f(2x+2) ， ∴ x2+3x<2x+2 ， ∴ −2<x<1 ， 即 f(x2+3x)<f(2x+2) 的解集为 {x|−2<x<1} .

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