题目

如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ，且点M和N分别为 和 的中点. （1） 求二面角 的正弦值； （2） 设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长 答案： 解：侧棱 A1A⊥ 底面 ABCD,AB⊥AC ，故 AB,AC,AA1 两两垂直. 如图所示：以 AB,AC,AA1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0) ， B(0,1,0) ， C(2,0,0) ， D(1,−2,0) ， A1(0,0,2) ， B1(0,1,2) ， C1(2,0,2) ， D1(1,−2,2) ， M(1,12,1) ， N(1,−2,1) . 设平面 D1AC 的法向量为 n1→=(x,y,z) ，则 {AC⇀⋅n1⇀=0AD1⇀⋅n1⇀=0 ，故 {x−2y+2z=02x=0 ， 取 z=1 ，得到 n1→=(0,1,1) ； 设平面 B1AC 的法向量为 n2→=(x,y,z) ，则 {AC⇀⋅n2⇀=0AB1⇀⋅n2⇀=0 ，故 {y+2z=02x=0 ， 取 z=1 ，得到 n2→=(0,−2,1) ； 故 cos〈n1→,n2→〉=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=−1010 ，故 sin〈n1→,n2→〉=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=31010 ， 故二面角 D1−AC−B1 的正弦值为 31010 解：设 A1E→=λA1B1→ ， λ∈[0,1] ，则 E(0,λ,2) ， NE→=(−1,λ+2,1) ， 易知 n→=(0,0,1) 是平面 ABCD 的一个法向量， 故 cos〈n→,NE→〉=n→⋅NE→|n→|⋅|NE→|=12+(λ+2)2=13 ，解得 λ=7−2 ，故 A1E=7−2 .

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