题目

某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照 分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.   （1） 求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2） 用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数； （3） 若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在 的学生至少有1人被抽到的概率. 答案： 解：由频率分布直方图可得第 4 组的频率为： 1−(0.01+0.03+0.03+0.01)×10=0.2 ∴x=0.2÷10=0.02 估计所抽取的50名学生成绩的平均数为： (55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=74 由于前两组的频率之和为 0.1+0.3=0.4 ，前三组的频率之和为 0.1+0.3+0.3=0.7 ∴ 中位数在第3组中 设中位数为 t ，则有： (t−70)×0.03=0.1 ，解得： t=2203 即所求的中位数为 2203 解：由（1）知：50名学生中成绩不低于70分的频率为： 0.3+0.2+0.1=0.6 用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为： 2000×0.6=1200 解：由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5 ∴ 这三组中所抽取的人数分别为3，2，1 记成绩在 [70,80) 的 3 名学生分别为 a,b,c ，成绩在 [80,90) 的 2 名学生分别为 d,e ，成绩在 [90,100] 的 1 名学生为 f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为： (a,b,c) ， (a,b,d) ， (a,b,e) ， (a,b,f) ， (a,c,d) ， (a,c,e) ， (a,c,f) ， (a,d,e) ， (a,d,f) ， (a,e,f) ， (b,c,d) ， (b,c,e) ， (b,c,f) ， (b,d,e) ， (b,d,f) ， (b,e,f) ， (c,d,e) ， (c,d,f) ， (c,e,f) ， (d,e,f) ，共20种 其中成绩在 [80,100] 的学生没人被抽到的可能结果为 (a,b,c) ，只有1种， 故成绩在 [80,100] 的学生至少有1人被抽到的概率： P=1−120=1920

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