题目

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）． （1） 求反比例函数的解析式和n值； （2） 当 ＝ 时，求直线AB的解析式； （3） 设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P ， 以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： ∵D(4,1) 、 E(2,n) 在反比例函数 y=kx 的图象上， ∴4=k ， 2n=k ， ∴k=4 ， n=2 ， ∴ 反比例函数的解析式为 y=4x ； 如图，过点 E 作 EH⊥BC ，垂足为 H ． 在 RtΔBEH 中， tan∠BEH=tan∠A=BCAC=12 ， ∵D(4,1) ， E(2,2) ， EH=4−2=2 ， ∴BH=1 ． ∴B(4,3) ． 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ，代入 B(4,3) 、 E(2,2) ， 得 {4k+b=32k+b=2 ，解得： {k=12b=1 ， 因此直线 AB 的函数解析式为： y=12x+1 ； 存在， 如图，作 EF⊥BC 于 F ， PH⊥BC 于 H ， 当 ΔBED∽ΔBPC 时， BEBP=BDBC=23 ， ∴ BFBH=23 ， ∵BF=1 ， ∴BH=32 ， ∴CH=32 ，可得 32=12x+1 ， x=1 ， 点 P 的坐标为 (1,32) ； 如图，当 ΔBED∽ΔBCP 时， BEBC=BDBP ， ∵EF=2 ， BF=1 ，由勾股定理， BE=5 ， ∴ 2BP=53 ， ∴BP=655 ， ∴ BFBH=BEBP ， BF=1 ， BH=65 ， ∴CH=95 ，可得 95=12x+1 ， x=85 ， 点 P 的坐标为 (85 ， 95) ， 点 P 的坐标为 (1,32) ； (85 ， 95) ．

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