题目

已知函数 . （1） 若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值； （2） 若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围. 答案： 证明：由f（x）＜k得： xx2+6< k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴ 1k=− 2+（﹣3），∴k =−15 ； 所以实数k的值是 −15 ； 由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值， ∀x1∈[2，4]，f（x） =xx2+6=1x+6x 在区间[2， 6 ]为增函数，[ 6 ，4]为减函数，f（2） =15 ，f（4） =211 ， 所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4） =211 ； 函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m， ①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m +1311≤211 ⇒m ≤−54 ，解得：﹣2 ≤m≤−54 ； ②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2 +1311≤211 ⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2； ③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m +1311≤211 ，解得：m ≤−178 ，所以m≤﹣4； 综上所述，m的取值范围：（﹣∞， −54 ].

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