题目

如图，且 ， ， 且 ， 且 ， 平面 ， ． （1） 若点为的中点，点为的中点，点为线段上动点，且平面平面 ， 求的值； （2） 求二面角的正弦值． 答案： 解：依题意，以D为原点，分别以DA，DC，DG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M(0，32，1)，N(1，0，2)，所以DC→=(0，2，0)，DE→=(2，0，2)，设平面CDE的法向量为n→=(x，y，z)，所以{n→⋅DC⇀=2y=0n→⋅DE⇀=2x+2z=0，令z=−1，可得n→=(1，0，−1)，设P(0，0，a)，则NP→=(−1，0，a−2)，若平面MNP//平面CDE，则NP//平面CDE，故NP→⋅n→=0，所以−1−(a−2)=0，解得a=1，所以P(0，0，1)，此时GPGD=1； 解：依题意可得，BC→=(−1，0，0)，BE→=(1，−2，2)，CF→=(0，−1，2)，设平面BCF的法向量为m→=(a，b，c)，所以{m→⋅BC⇀=−a=0m→⋅CF⇀=−b+2c=0，令c=1，所以可得m→=(0，2，1)，同理可求平面BCE的法向量为p→=(0，1，1)，所以cos<n→，p→>=m→⋅p→|m→||p→|=31010，所以sin<n→，p→>=1010，所以二面角E−BC−F的正弦值为1010．

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