题目

综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．已知：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是射线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F．独立思考： （1） 如图1，当点D与点B重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由； （2） 如图2，当点D为BC中点时，直接写出线段BF与AC的数量关系；合作交流： （3） ①如图3，当点D在线段CB上（不与C、B重合），请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D在线段CB延长线上，请探究线段BF、BD与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）． 答案： 解：理由：∵AC=BC，CE⊥AB，∴AE=BE．∵BF∥AC，∴∠A=∠ABF，又∵∠AEC=∠BEF，∴△AEC≌△BEF(ASA)．∴BF=AC． 解：AC=2BF（或BF=12AC）；∵CE⊥AD，∴∠CED=∠ACD=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠DCE+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠BCF，∵BF∥AC，∴∠ACB+∠CBF=180°，∴∠CBF=90°=∠ACD，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBF（ASA），∴CD=BF，∵D为BC中点，∴BC=2CD，∴AC=2BF； 解：①三条线段关系为：BF+BD=AC；理由如下：∵BF∥AC，∴∠ACB+∠CBF=180°，∵∠ACB=90°，∴∠CBF=90°．∴∠ACB=∠CBF．∵CF⊥AD，∴∠CED=90°．∴△CED中，∠ECD+∠CDA=90°，又∵△ACD中，∠ACD=90°，∴∠CAD+∠CDA=90°，∴∠ECD=∠CAD．∵AC=BC，∴△ACD≌△CBF(ASA)，∴CD=BF．∵BC=CD+BD，∴AC=BF+BD，②如图，三条线段关系为：BF=AC+BD；理由如下：∵BF∥AC，∴∠ACB+∠CBF=180°，∵∠ACB=90°，∴∠CBF=90°．∴∠ACB=∠CBF．∵CF⊥AD，∴∠CED=90°，∴△CED中，∠ECD+∠CDA=90°，又∵△ACD中，∠ACD=90°，∴∠CAD+∠CDA=90°，∴∠ECD=∠CAD，∵AC=BC，∴△ACD≌△CBF(ASA)∴CD=BF．∵CD=BC+BD，∴BF=AC+BD．

查看本题答案和解析