题目

已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，若 ， ， 成等比数列，椭圆 上的点到焦点 的距离的最大值为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦 与 ，求 的取值范围． 答案： 解：易知 |OF2|2=|OB|⋅|AB| ，得 c2=ba2+b2 ，则 ca=63 ， 而 a+c=26+4 ，又 a2=b2+c2 ，得 a=26 ， b=22 ， 因此，椭圆C的标准方程为 x224+y28=1 解： ① 当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得 |MN|+|PQ|=1663 ； ② 当两条直线斜率都存在且不为0时，由 (1) 知 F(4,0) ， 设 M(x1,y1) 、 N(x2,y2) ，直线MN的方程为 y=k(x−4) ，则直线PQ的方程为 y=−1k(x−4) ， 将直线 MN 方程代入椭圆方程并整理得： (1+3k2)x2−24k2x+48k2−24=0 ， 显然 △>0 ， x1+x2=24k23k2+1 ， x1x2=48k2−243k2+1 ， ∴|MN|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2=46(k2+1)3k2+1 ，同理得 |PQ|=46(k2+1)k2+3 ， 所以， |MN|+|PQ|=46(k2+1)3k2+1+46(k2+1)k2+3=166(k2+1)2(3k2+1)(k2+3) ， 令 t=k2+1>1 ，则 1+3k2=3t−2 ， k2+3=t+2 ，设 f(t)=(3t−2)(t+2)t2=−4t2+4t+3=−4(1t−12)+4 ， ∵t>1 ，所以， 0<1t<1 ，所以， f(t)∈(3,4] ，则 |MN|+|PQ|=166f(t)∈[46,1663) ． 综合 ①② 可知， |MN|+|PQ| 的取值范围是 [46,1663]

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