题目

如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）． （1） 若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V； （2） 某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？ 答案： 解：根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体， 知这个正方体的底面边长NQ=ME= 2 x，则QE=QF= 2 x，故EF= 2 ME=2x，∵正方形纸片ABCD边长为24cm，∴x+2x+x=24，解得：x=6，则 正方体的底面边长a=6 2 ，V=a3= (62)3 =432 2 （cm3）； 答：这个包装盒的体积是432 2 cm3 解：设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= 2x ，h= 24−2x2=2(12−x) ， ∴S=4ah+a2=4 2 x ⋅2 （12﹣x）+ (2x)2 =﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2．

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