题目

如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于点 和点 ，与y轴交于点C. （1） 求 的值； （2） 点 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 于点Q. ①当 时，求当P点到直线 的距离最大时m的值； ②是否存在m，使得以点 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值. 答案： 解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）， ∴ {1−b+c=09+3b+c=0 ， 解得： {b=−2c=−3 ， ∴b= −2 ，c= −3 ； 解：①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 −2x−3 ， 设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， ∵0<m<3， ∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=- (m−32)2 + 214 ， ∵-1<0， ∴当 m=32 时，PQ有最大值，最大值为 214 ； ②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3， ∴C（0，-3）， ∴OB=OC=3， 由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m）， ∵PQ∥OC， 当OC为菱形的边，则PQ=OC=3， 当点Q在点P上方时， ∴PQ= −m2+3m+3=3 ，即 −m2+3m=0 ， ∴ m(m−3)=0 ， 解得 m=0 或 m=3 ， 当 m=0 时，点P与点O重合，菱形不存在， 当 m=3 时，点P与点B重合，此时BC= 2OC=32≠OC ，菱形也不存在； 当点Q在点P下方时， 若点Q在第三象限，如图， ∵∠COQ=45°， 根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合， 此时OA=1 ≠ OC=3，菱形不存在， 若点Q在第一象限，如图， 同理，菱形不存在， 综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形.

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