题目

如图，在 中， ， 是 上的一点，以 为直径的 与 相切于点 ，连接 ， . （1） 求证： 平分 ； （2） 若 ，求 的值. 答案： 证明：连接 OE ， ∵ BC 是 ⊙O 的切线， ∴ OE⊥BC ，即 ∠OEC=90° ， 又∵ ∠C=90° ， ∴ OE//AC ， ∴ ∠OEA=∠CAE ， 又∵ OE=OA ， ∴ ∠OEA=∠OAE ， ∴ ∠OAE=∠CAE ， ∴ AE 平分 ∠BAC . 解：∵ AD 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠AED=90° ， 又∵ ∠OAE=∠CAE ， ∠C=90° ， ∴ △DAE∽△EAC ， ∴ CEDE=AEAD . 又∵ ∠B=30° ， ∠C=90° ， ∴ ∠BAC=60° . ∴ ∠DAE=12∠BAC=30° . 又∵ cos∠DAE=AEAD=cos30°=32 ， ∴ AEAD=32 ，即 CEDE=32 .

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