题目

对于平面内的点P和图形M ， 给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若 与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度 ”． （1） 如图1.点 ， ． ①在点O视角下，则线段 的“宽度 ”为； ②若 半径为1.5，在点A视角下， 的“宽度 ”为； （2） 如图2， 半径为2，点P为直线 上一点．求点P视角下 “宽度 ”的取值范围； （3） 已知点 ，直线 与x轴，y轴分别交于点D ， E ． 若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段 的“宽度”均满足 ，直接写出m的取值范围． 答案： 【1】2【2】3 解：设直线 y=−x+1 与 ⊙O 的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，如图所示： 当点P在点M上方时，则以点P为圆心的圆与 ⊙O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设 ⊙P 的半径最小为 r ，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为 r+4 ， ∴在点P视角下 ⊙O “宽度 d⊙O ”为 r+4−r=4 ， 同理可得当点P在点N下方时，与点P在点M外时相同； 当点P在线段MN上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P在AB的中点时，此时在点P视角下 ⊙O “宽度 d⊙O ”取最小，即：以点P为圆心的圆与 ⊙O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图所示： ∴由直线 y=−x+1 可得点 A(1,0),B(0,1) ，即OA=1，OB=1， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴ AB=2 ， ∵点P是AB的中点， ∴ OP=22 ， ∴ ⊙P 的半径最小为 2−22 ，半径最大为 2+22 ， ∴在点P视角下 ⊙O “宽度 d⊙O ”为 2+22−(2−22)=2 ， 综上所述：在点P视角下 ⊙O “宽度 d⊙O ”的取值范围为 2≤d⊙O≤4 ； m<−33−2 或 m>−33+1

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