题目

在数列 中， . （1） 求 的通项公式. （2） 设 的前n项和为 ，证明： . 答案： 解：∵ (n+1)ann2=(2n+4)an+1(n+1)2 ，∴ (n+1+1)an+1(n+1)2=12⋅(n+1)ann2 ， 又 (1+1)a112=12 ，∴数列 {(n+1)ann2} 是首项为 12 ，公比为 12 的等比数列， 从而 (n+1)ann2=(12)n ， 则 an=n2(n+1)⋅2n 证明：∵ an=n2(n+1)⋅2n=nn+1⋅n2n<n2n ， ∴ Sn<12+222+⋯+n2n . 设 Tn=12+222+⋯+n2n ，则 12Tn=122+223+⋯+n2n+1 ， 两式相减得 12Tn=12+122+⋯+12n−n2n+1=12−12n+11−12−n2n+1=1−n+22n+1 ， 从而 Tn=2−n+22n ， 故 Sn<2−n+22n .

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