题目

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， 后得到如图的频率分布直方图． （1） 求图中实数 的值； （2） 若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3） 若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 答案： 解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以 10×(0.005+0.01+0.02 +a+0.025+0.01)=1 ． 解得 a=0.03 解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率 为 1−10×(0.005+0.01) =0.85 ． 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想， 可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为 640×0.85=544 人． 解：成绩在 [40,50) 分数段内的人数为 40×0.05=2 人，分别记为 A ， B ． 成绩在 [90,100] 分数段内的人数为 40×0.1=4 人，分别记为 C ， D ， E ， F 若从数学成绩在 [40,50) 与 [90,100] 两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 则所有的基本事件有： (A,B) ， (A,C) ， (A,D) ， (A,E) ， (A,F) ， (B,C) ， (B,D) ， (B,E) ， (B,F) ， (C,D) ， (C,E) ， (C,F) ， (D,E) ， (D,F) ， (E,F) 共15种． 如果两名学生的数学成绩都在 [40,50) 分数段内或都在 [90,100] 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 [40,50) 分数段内，另一个成绩在 [90,100] 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件 M ，则事件 M 包含的基本事件有： (A,B) ， (C,D) ， (C,E) ， (C,F) ， (D,E) ， (D,F) ， (E,F) 共7种． 所以所求概率为 P(M)=715 ．

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