题目

如图， 是 的直径，直线 与 相切于点A，直线 与 相切于点B，点C（异于点A）在 上，点D在 上，且 ，延长 与 相交于点E，连接 并延长交 于点F. （1） 求证： 是 的切线； （2） 求证： ； （3） 如图，连接 并延长与 分别相交于点G、H，连接 .若 ， ，求 . 答案： 证明：连接OD， ∵ CD=CA ， ∴∠CAD=∠CDA， ∵OA=OD ∴∠OAD =∠ODA， ∵直线 AM 与 ⊙O 相切于点A， ∴∠CAO=∠CAD+∠OAD=90° ∴∠ODC=∠CDA+∠ODA=90° ∴CE是 ⊙O 的切线； 证明：连接BD ∵OD=OB ∴∠ODB=∠OBD， ∵CE是 ⊙O 的切线，BF是 ⊙O 的切线， ∴∠OBD=∠ODE=90° ∴∠EDB=∠EBD ∴ED=EB ∵AM⊥AB，BN⊥AB ∴AM∥BN ∴∠CAD=∠BFD ∵∠CAD=∠CDA=∠EDF ∴∠BFD=∠EDF ∴EF=ED ∴BE=EF 解：过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形， 设BE=x，则CL=4-x，CE=4+X ∴(4+x)2=(4-x)2+62 解得：x= 94 ∴tan∠BOE=BEOB=943=34 ∵∠BOE=2∠BHE ∴tan∠BOE=2tan∠BHE1−tan2∠BHE=34 解得：tan∠BHE= 13 或-3（-3不和题意舍去） ∴tan∠BHE= 13

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