题目

如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BA，AD的延长线上，，BF交CD于点O，ED的延长线交BF于点G，连接CG. （1）求证：；（2）求的度数；（3）如图2，连接AG，求证： . 答案：证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=AD，∠FAB=∠EAD=90° ， ∵ AE=AF ， ∴ △AFB≌△AED(SAS) ， ∴ ∠E=∠F ， ∵ ∠FAB=90° ， ∴ ∠F+∠ABF=90° ， ∴ ∠E+∠ABF=90° ，即 ∠EGB=90° ， ∴ EG⊥BF ；解：连接BD，如图所示：由（1）可知 ∠DGO=∠BCO=90° ， ∵ ∠DOG=∠BOC ， ∴ △DGO∽△BCO ， ∴ OGOC=ODOB ， ∵ ∠GOC=∠DOB ， ∴ △BOD∽△COG ， ∴ ∠CGO=∠BDO ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∠CGO=∠BDO=45° ；证明：在EG上截取EH=FG，连接AH，如图所示：由（1）可知 ∠E=∠F ， ∠EAD=90° ， ∴ ∠EAH+∠HAD=90° ， ∵ AE=AF ， ∴ △AEH≌△AFG （SAS）， ∴ ∠EAH=∠FAG ， AH=AG ， ∴ ∠FAG+∠HAD=90° ，即 ∠HAG=90° ， ∴ △AHG 是等腰直角三角形， ∴ HG=2AG ， ∵ EG−EH=HG ， ∴ EG−FG=2AG .

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