题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA= ，又E为边BC上异于B，C的点，且PE⊥ED． （1） 求证：平面PAE⊥平面PDE； （2） 求点A到平面PDE的距离． 答案： 证明：∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥DE，∵PE⊥ED，PA∩PE=P，∴DE⊥平面PAE，∵DE⊂平面PDE，∴平面PAE⊥平面PDE 因为PE⊥ED，PA⊥ED， 所以ED⊥平面PAE，所以DE⊥AE．在平行四边形ABCD中，设BE=x，则AE2=1+x2﹣2•1•x• 12 =x2﹣x+1ED2=1+（2﹣x）2+2×1×（2﹣x）× 12 =x2﹣5x+7由AD2=AE2+DE2可知：x2﹣3x+2=0，故x=1，x=2（舍）因为DE⊥平面PAE，所以面PAE⊥平面PED．所以A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离．在Rt△PAE中，PA= 2 ，AE=BE=1，所以PE= 3 所以A到PE的距离d= 1×23 = 63 ．故A到平面PED之距为 63

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