题目

如图，一条抛物线经过原点和点 ， 、 是该抛物线上的两点， 轴，点 坐标为 ，点 在线段 上，点 在线段 上，且满足 . （1） 求抛物线的解析式； （2） 若四边形 的面积为14，求 ； （3） 是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵抛物线经过原点和点（8，0）， ∴设抛物线解析式为y=ax（x-8）， ∵点A（3，4）在抛物线上， ∴4=a·3·（3-8）， ∴a=-415 ， ∴抛物线解析式为y=-415 x（x-8）=-415x2+3215x. 解：∵AB∥x轴， ∴四边形OABC关于抛物线对称轴对称， ∴AOC=∠BCO， ∴B（5，4）， ∵A（3，4）， ∴AB=2，BC=OA=5， ∵四边形OABE的面积为14， ∴12×（2+OE）×4=14 ∴OE=5，即E（5，0） ∴BE⊥OC， ∵C（8，0） ∴CE=3，BE=4， ∴S△BCE= 12 ×3×4=6， ∵∠BEF=∠AOC=∠BCO，∠EBF=∠CBE， ∴△BEF∽△BCE， ∴ S△BCFS△BCE=(BEBC)2， 即 6−S△ECF6=(45)2， ∴S△ECF= 5425. 解：存在点E使得△BEF为等腰三角形，理由如下： ①当BE=BF时，则∠BEF=∠BFE， ∵∠BEF=∠AOC=∠BCO， ∴∠BFE=∠BCE， ∴EF与EC重合， ∴∠BEC=∠BEF=∠AOC， ∴OA∥BE， ∵AB∥x轴， ∴OE=AB=2， ∴E（2，0） ②当EB=EF时，则∠EBF=∠EFB， ∵△BEF∽BCE， ∴∠BEC=∠BFE， ∴∠BEC=∠EBF， ∴EC=BC=5， ∴OE=OC-EC=8-5=3， ∴E（3，0）； ③当FB=FE时，则∠FBE=∠FEB， ∴∠BCO=∠AOC=∠FEB=∠FBE， ∴BE=EC，即点E在BC的中垂线上， 如图，过E作EM⊥BC，垂足为M，过A作AN⊥OC，垂足为N， ∴CM=12BC=52，ON=3，OA=5， ∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠EMC=90°， ∴△AON∽△ECM， ∴OAEC=ONCM，即5EC=352， ∴EC=256， ∴OE=OC-EC=8-256=236， ∴E（236，0）， ∴综上所述，存在点E，使得△BEF为等腰三角形，且点E的坐标为（2，0）或（3，0）或（236，0）.

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