题目

2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A､B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为 ， 答对B难度问题的概率为 ， 且每轮答题互不影响. （1） 若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率； （2） 若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望. 答案： 解：他最终得分为10分，则3轮比赛中有且仅有1轮比赛答对A难度问题故所求概率为P=C31×25×(1−25)2=54125 解：依题意得，X的可能取值为0，5，10，15，P(X=0)=(1−45)2(1−25)=3125，P(X=5)=C21×45×(1−45)×(1−25)=24125，P(X=10)=(45)2×(1−25)+(1−45)2×25=50125=25，P(X=15)=C21×45×(1−45)×25+(45)2×25=48125，所以X的分布列为X051015P3125241252548125所以X的数学期望E(X)=0×3125+5×24125+10×25+15×48125=10.72

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