题目

已知椭圆E： 的离心率为 ，F1 ， F2分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F1 ， F2关于l的对称点恰好为圆C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一条直径的两个端点． （1） 求椭圆E的方程； （2） 设直线l与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，射线F1A，F1B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由． 答案： 解：将圆C的方程配方的：（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4，则圆心C（2m，m），半径为2，由椭圆的焦距为2c=d=4，c=2，由e= ca = 23 ，则a=3，b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为 x29+y25=1 ； 由F1，F2关于l的对称点恰好是圆C的一条直径的两个端点，则直线l是线段OC的垂直平分线，故l方程为y=﹣2x+ 5m2 ，{y2=2pxy=−2x+5m2 ，整理得2y2+2py﹣5pm=0，则△=（2p）2+4×2×5p＞0，则p+10m＞0，设A（x1，y1），B（x1，y1），则y1+y2=﹣p，y1y1=﹣ 52pm ，由F1的坐标为（﹣2，0），则 F1A→ =（x1+2，y1）， F1B→ =（x2+2，y2），由 F1M→ 与 F1A→ 同向， F1N→ 与 F1B→ 同向，则点F1在以线段MN为直径的圆内，则 F1M→ • F1N→ ＜0，则 F1A→ • F1B→ ＜0，则（x1+2）（x2+2）+y1y2＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4+y1y1＜0，则 25m24 +10（2﹣p）m+4（p+4）＜0，当且仅当△=100（2﹣p）2﹣100（p+4）＞0，即p＞5，总存在m使得②成立，当p＞5时，由韦达定理可知 25m24 +10（2﹣p）m+4（p+4）=0的两个根为正数，故使②成立的m＞0，从而满足①，故存在整数集D=（5，+∞），当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在线段MN为直径的圆内．

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