题目

已知多面体中，为正方形，平面平面，，，，， . （1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 答案：因为 BD=2 ， BC=255 ， BC⊥CD ，由勾股定理，可得 CD=455 ，因为 AB=5 ，所以 CDBD=BDAB ，因为 AB//CD ，所以 ∠BDC=∠ABD ，所以 △BCD∽△ADB ，因为 BC⊥CD ，所以 BD⊥AD 又因为平面 ABCD⊥ 平面 ADEF ，平面 ABCD∩ 平面 ADEF=AD ，所以 BD⊥ 平面 ADEF ，由 AE⊂ 平面 ADEF ，可得 AE⊥BD . 在正方形 ADEF 中，有 DF⊥AE ， BD⊂ 平面 BDF ， DF⊂ 平面 BDF ， BD∩DF=F ， AE⊥ 平面 BDF ， BF⊂ 平面 BDF ， BF⊥AE ；以 DA 为 x 轴， DB 为 y 轴， DE 为 z 轴建立空间直角坐标系，可得 B(0,2,0) ， E(0,0,1) ， F(1,0,1) ， C(−45,85,0) ， BE→=(0,−2,1) ， EF→=(1,0,0) ， CB→=(45,25,0) 设平面 BEF 的法向量为 m→=(x1,y1,z1) ，平面 BCE 的法向量 n→=(x2,y2,z2) 由 {BE⇀⋅m→=0,EF⇀⋅m→=0, 可得 {−2y1+z1=0,x1=0, 令 y1=1 ，得到 m→=(0,1,2) ， {BE⇀⋅n→=0,CB⇀⋅n→=0, 可得 {−2y2+z2=045x2+25y2=0, 令 x2=1 ，可得 n→=(1,−2,−4) ， cos〈m→,n→〉=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=−10215=210521 ，所以平面 BEF 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值为 210521 .

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