题目

在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作▱ECFG. （1）如图1，证明▱ECFG为菱形；（2）如图2,若∠ABC=120°,连接BG、CG,并求出∠BDG的度数：（3）如图3,若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中点，求DM的长. 答案：证明：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE， ∴∠CEF=∠CFE， ∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形；结论：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC， ∵∠ABC=120°， ∴∠BCD=60°,∠BCF=120° 由(1)知，四边形CEGF是菱形， ∴CE=GE,∠BCG= 12 ∠BCF=60°， ∴CG=GE=CE,∠DCG=120°， ∵EG∥DF， ∴∠BEG=120°=∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴BE=CD， ∴△BEG≌△DCG(SAS)， ∴BG=DG，∠BGE=∠DGC， ∴∠BGD=∠CGE， ∵CG=GE=CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE=60°， ∴∠BGD=60°， ∵BG=DG， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG=60°；解：如图2中，连接BM，MC， ∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形，又由(1)可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF=90°， ∴四边形ECFG为正方形. ∵∠BAF=∠DAF， ∴BE=AB=DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM=∠ECM=45°， ∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME和△DMC中， ∵BE=CD,∠BEM=∠DCM，EM=CM, ∴△BME≌△DMC(SAS)， ∴MB=MD， ∠DMC=∠BME. ∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴△BMD是等腰直角三角形. ∵AB=6，AD=8，则BD= AB2+AD2=62+82 =10，∴DM=5 2 .

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