题目

如图， 中， ， ， ，将 沿过点 的直线 折叠，使点 落到 边上的点 处，折痕交 边于点 . （1） 求证：四边形 是菱形； （2） 若点 是直线 上的一个动点，请计算 的最小值. 答案： 解：如图①，在 四边形ABCD 中， ∵∠D=60° ， ∴∠DAB=∠1+∠2=120° ， ① 由题意知 △ADE≅△AD'E ， ∴∠1=∠2=∠D=60° ， ∴△DEA 和 △AD'E 是等边三角形， ∴DE=AD'=AD=ED'=1 . ∵AB=2 ， ∴D'B=1 .同理 EC=1 ， ∴EC=D'B=ED'=1 . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴EC//D'B ， ∴ 四边形 D'BCE 是平行四边形. 又 ∵D'B=ED' ，∵四边形 BCED' 是菱形； 解：如图②， ② BD 之长即为所求，作 DG⊥BA 的延长线于点 G . ∵∠DAB=120° ， ∴∠DAG=60° ， ∵∠G=90° ， ∴∠ADG=30° . 在 Rt△ADG 中， ∵AD=1 , ∴AG=12 , DG=32 .- ∵AB=2 ， ∴BG=52 . 在 Rt△BDG 中， BD2=BG2+DG2=7 ， ∴BD=7 ，即 PD'+PB 的最小值为 7 .

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