题目

已知向量 ， ，且函数 ． （1） 求函数 在 时的值域； （2） 设 是第一象限角，且 ，求 的值． 答案： 解：由题意， f(x)=m→⋅n→=1−sin2x+3sinxcosx=cos2x+3sinxcosx =12cos2x+32sin2x+12=sin(2x+π6)+12 ， 由 −π2≤x≤0 可得 −5π6≤2x+π6≤π6 ，所以 sin(2x+π6)∈[−1,12] ， 所以 f(x) 在 x∈[−π2,0] 时的值域为 [−12,1] ； 解：∵ f(α2+π6)=1110 ，∴ sin[2(α2+π6)+π6]+12=1110 ， 则 sin(α+π2)=35 即 cosα=35 ， 又 α 为第一象限的角，∴ sinα=1−cos2α=45 ， ∴ sin(α+π4)cos(2π+2α)=22(sinα+cosα)cos2α =22(sinα+cosα)cos2α−sin2α=22cosα−sinα=−522 .

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