题目

记无穷数列 的前n项 ， ，…， 的最大项为 ，第n项之后的各项 ， ，…的最小项为 ， ． （1） 若数列 的通项公式为 ，写出 ， ， ； （2） 若数列 的通项公式为 ，判断 是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由； （3） 若数列 为公差大于零的等差数列，求证： 是等差数列． 答案： 解：由题知数列 {an} 的通项公式为 an=2n2−7n+6 ， 可知 a1=1 ， a2=0 ， a3=3 ， a4=10 且当 n≥2 时是单调递增数列， 所以 b1=A1−B1=1−0=1 ， b2=A2−B2=1−3=−2 ， b3=A3−B3=3−10=−7 ， 所以 b1 ， b2 ， b3 分别为 1,−2,−7 ． 解：由题知数列 {bn} 的通项公式为 bn=1−2n ， 所以数列 {bn} 是单调递减的数列，且 bn<0 ， 由题知 An≥an ， Bn≤an+1 ， 因为 bn=An−Bn≥an−an+1⇒an−an+1<0⇒an<an+1 ， 故数列 {an} 是单调递增数列， 所以当 n≥1 时， An=an ， Bn=an+1 ， 故 bn=An−Bn=an−an+1=−(an+1−an)=1−2n ， 所以数列 {an+1−an} 的通项公式是 an+1−an=2n−1 ， 即数列 {an+1−an} 是等差数列，公差 d=2 ． 证明：由题知数列 {bn} 为公差大于零的等差数列， 故设 bn=b1+(n−1)d 且公差 d>0 ， 当 n≥1 时，有 bn+1=bn+d⇒An+1−Bn+1=An−Bn+d ， 整理得 An+1−An=Bn+1−Bn+d ， 若 Bn+1=m ，则有 Bn≤m ， 故 Bn+1−Bn+d>0⇒An+1>An ，                           因为 A1=a1 ，所以当 n=1 时 A2>A1⇒A2=a2 ， 当 n=2 时 A3>A2⇒A3=a3 ， 类似的可以证明 An=an ， 因为 An+1>An ， 故有 a1<a2<a3<⋯<an<an+1<⋯ ， 故数列 {an} 是单调递增数列， 所以当 n≥1 时， An=an ， Bn=an+1 ， 故 bn=An−Bn=an−an+1=−(an+1−an)=b1+(n−1)d ， 所以数列 {an+1−an} 的通项公式是 an+1−an=−b1+(n−1)(−d) ， 即数列 {an+1−an} 是等差数列，公差为 −d ．

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