题目

如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形， ， . （1） 证明：平面； （2） 若点在棱上，直线与平面所成角的大小为. ①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤； ②求的最大值. 答案： 证明：因为AD=BD=2，AB=AA1=2，故AD2+BD2=AB2，所以BD⊥AD.又直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，故DD1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，故DD1⊥BD，又DD1∩AD=D，DD1，AD⊂平面ADD1A1，故BD⊥平面ADD1A1 解：①过P作PQ⊥C1D1于Q，连接A1Q，AP分别交B1D1，BD于M，N，连接MN，则直线MN为平面PAA1与平面BB1D1D的交线. ②由①，因为A1B1∥DP，故A1，B1，D，P四点共面，设A1P∩B1D=O，则直线ON为平面PAA1与平面BB1D的交线，故M，O，N三点共线.过B1作B1H⊥A1Q于H，连接OH， 又B1H⊥DD1，且根据线面平行的性质可得MN∥DD1，故MN⊥平面 A1B1C1D1  ，所以B1H⊥MN，又A1Q∩MN=M，B1H⊥平面APQA1.故直线B1D与平面PAA1所成角为∠B1OH.当M，H不重合，即P与D不重合时，易得sinθ=B1HB1O<B1MB1O=sin∠B1OM=sin∠B1DD1，又θ，∠B1DD1均为锐角，故θ<∠B1DD1.当M，H重合时，有P与D重合，此时由（1）BD⊥平面ADD1A1，故B1D1⊥平面ADD1A1，故∠B1DD1为B1D与平面ADD1A1所成角.故当P与D重合时，θ取得最大值∠B1DD1，此时sinθ=B1D1B1D=22+22=33，故sinθ的最大值为33

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