题目

平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）． （1） 当α=0°时，连接DE，则∠CDE=°，CD=； （2） 试判断：旋转过程中 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3） 若m=10，n=8，当旋转的角度α恰为∠ACB的大小时，求线段BD的长； （4） 若m=6，n= ，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长． 答案： 【1】90【2】n2 解：如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵ CDCE=BCAC=nm ，∴△ACE∽△BCD，∴ BDAE=BCAC=nm ． 解：如图4中，当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB= AC2−BC2 =6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE= AB2+BE2 = 62+32 =3 5 ，由（2）可知△ACE∽△BCD，∴ BDAE=BCAC ，∴ BD35 = 810 ，∴BD= 1255 ．故答案为： 1255 解：∵m=6，n= 42 ，∴CE=3，CD=2 2 ，AB= CA2−BC2 =2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD= BC2+CD2 = （42）2+（22）2 =2 10 ．②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴ BM=EC=3，ME=42 ，∴AM=5，AE= AM2+ME2 = 57 ，由（2）可知 DBAE = 223 ，∴BD= 21143 ．故答案为：2 10 或 21143 ．

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