题目

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，且∠BAD＝∠ACB，DE⊥AC于点F，交BC的平行线AE于点E． （1） 求证：AD＝DE． （2） 若BD＝ ， CD＝ ． ①求AC的长．②过点E作EG⊥AD于点G，在射线AC上取一点M与△AEG某一边的两端点，构成以M为顶点的角等于∠ACB，求所有满足条件的AM的长． 答案： 证明：∵AE∥BC，∴∠BAE+∠ABC=180°，∠ACB=∠CAE，∵ABC=90°，∴∠BAE=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∵∠BAD=∠ACB，∴∠BAD=∠CAE，∵DE⊥AC，∴∠AFE=90°，∴∠CAE+∠E=90°，∴∠DAE=∠E，∴AD=DE； 解：①∵∠BAD=∠ACB，∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC=BDAB，∴AB2=BD⋅BC=153(153+15)=203，∴AC2=AB2+BC2=203+(153+15)2=1009，∴AC=1033；②分三种情况：I）当∠AME=∠ACB时，如图，  ∵∠ACB=∠EAC，∴∠EAC=∠AME，∴AE=ME，∵EF⊥AC，∴AM=2AF，∵S△ACD=12AC⋅DF=12CD⋅AB，∴12×1033⋅DF=12×15×203，∴DF=3，在Rt△ABD中，AD=AB2+BD2=203+(153)2=533，在Rt△ADF中，AF=AD2−DF2=(533)2−(3)2=433，∴AM=2AF=833；II）当∠AMG=∠ACB时，如图，∴GM∥BC，∴△AGM∽△ADC，∴AMAC=AGAD，在△ADF和△EDG中，{∠AFD=∠EGD∠ADF=∠EDGAD=ED，∴△ADF≌△EDG（AAS），∴DG=DF=3，∴AG=233，∴AM1033=233533，∴AM=433．III）当∠EMG=∠ACB时， 如图所示，过E作EH⊥BC于H，延长AD交EH于Q，∵AE∥BC，AB⊥BC，EH⊥BC∴AB=EH，又AD=DE∴△ABD≌△EDH∴BD=DH=153，∴BH=2153，CH=CD-DH=2153又AB=2153=EH，∴EH=BH=CH在△ABD和△QHD中，{∠ADB=∠QDHBD=HD∠ABD=∠QHD=90°∴△ABD≌△QHD(ASA)∴AB=HQ=CH，故H为EQ的中点，又EG⊥AD即GH为直角三角形EGQ斜边中线∴GH=EH=HQ∴GH=EH=HQ=CH即E、G、Q、C四点共圆，如下图：∴∠ECG=∠EQG（同弧所对的圆周角相等）由△ABD≌△QHD知，∠EQG=∠BAD=∠ACB∴∠ECG=∠ACB，当∠EMG=∠ACB，点M在射线AC上时，即此时M与C重合，则AM=AC=1033.

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