题目

已知函数 ． （1） 讨论函数 的单调性； （2） 若函数 只有一个零点，求 的取值范围． 答案： 依题意得 f′(x)=x2−a ， ①若 a≤0 ，则 f′(x)≥0 ，函数 f(x) 在区间 (−∞，+∞) 上单调递增； ②若 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x<−a 或 x>a ，由 f′(x)<0 得 −a<x<a ， 可知函数 f(x) 在 (−∞，−a) ， (a，+∞) 上单调递增，在 (−a，a) 上单调递减． 由（1）可知， 当 a≤0 时， f(x) 在 (−∞，+∞) 上单调递增， 又 x→−∞ 时， f(x)→−∞ ； x→+∞ 时， f(x)→+∞ ， 此时函数 f(x) 仅有1个零点，满足条件． 若 a>0 时，由（1）可知， f(x) 在 x=−a 时取极大值，在 x=a 时 f(x) 取极小值． 又 x→−∞ 时， f(x)→−∞ ； x→+∞ 时， f(x)→+∞ ， 因为函数 f(x) 只有一个零点， 所以 f(x)极大值=f(−a)<0 或 f(x)极小值=f(a)>0 ， 即 −13(a)3+aa+2a<0 或 13(a)3−aa+2a>0 ， 解得 0<a<9 ． 综上所述， a 的取值范围是 (−∞，9) ．

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