题目

如图，在棱台 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ，上下底面的距离为1. （1） 若 ，证明：平面 平面 ； （2） 在（1）的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：如答图，延长 AE ， CG 交于点 P ，作 △APC 的中线 PO 交 AC 于点 O . AE=GC⇒PO⊥AC . 由比例关系： AP=PC=142 ， P 点到平面 ABCD 的距离 h=32 . AB=1 ， BC=2⇒AO=52 ，由勾股定理： PO=AP2−AO2=32=h . 从而， PO⊥ 平面 ABCD ， PO⊂ 平面 ACGE⇒ 平面 ACGE⊥ 平面 ABCD 解：如答图， 将台体补形至四棱锥 P−ABCD ，取 BC 中点 R ，连 AR ，取 AR 三等分点 Q ，连 BQ ， CQ ， FQ ， GQ . SABCD=(1+2)×12=32⇒3VP−ABCD=32×32=94 . SBQC=49SABCD⇒VP−BQC=49VP−ABCD . SBFGC=89SPBC⇒3VQ−BFGC=249VP−BQC =9681VP−ABCD=89 . 将梯形 EFGH 投影至平面 ABCD ，由勾股定理计算得 BF=CG=143 ， CQ=193 . 计算得 SBFGC=4109 . 故 3VQ−BFGC=GQsinθ×SBFGC=419027sinθ=89 . 解得 sinθ=319095 ，故直线 AH 与平面 BCGF 所成角的正弦值为 319095

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