题目

已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f( ),试证明 （1） f(x)为奇函数； （2） f(x)在(－1，1)上单调递减 答案： 解：由f(x)+f(y)=f( x+y1+xy )可令x=y=0,得f(0)=0, 令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( x−x1−x2 )=f(0)=0  ∴f(x)=－f(－x)  ∴f(x)为奇函数 解：先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f( x2−x11−x1x2 ) ∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴ x2−x11−x2x1 >0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2−x11−x2x1 <1,由题意知f( x2−x11−x1x2 )<0， 即　f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数

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