题目

在同一直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线C的方程变为 .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为 . （1） 求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2） 过点 作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求 的值. 答案： 解：将 {x′=12xy′=y 代入 x′2+y′2=1 得，曲线C的方程为 x24+y2=1 ， 由 ρsin（θ-π3）=3 ，得 ρsin θcosπ3−ρcos θsinπ3=3 ， 把 {x=ρcosθy=ρsinθ ，代入上式得直线l的直角坐标方程为 3x−y+23=0 . 解：因为直线l的倾斜角为 π3 ，所以其垂线l0的倾斜角为 5π6 ， 则直线l0的参数方程为 {x=1+tcos5π6y=0+tsin5π6 （t为参数），即 {x=1−32ty=12t （t为参数） 代入曲线C的方程整理得 7t2−43t−12=0 ， 设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知 t1>0 ， t2<0 ， 则 {t1+t2=437t1t2=−127 ，且 Δ=（43）2+4×7×12>0 ， 所以 1|PA|−1|PB|=1t1−1−t2=t1+t2t1t2=−33 .

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