题目

如图， ，直线a与b分别交 ， ， 于点A，B，C和点D，E，F Ⅰ 求证： ； Ⅱ 若 ， ， ， ，求直线AD与CF所成的角． 答案：证明：（Ⅰ）连接AF交平面 β 于G，连接AD，BE，CF，BG，EG． 由 β//γ ，平面 ACF∩​β=BG ，平面 ACF∩​γ=CF ，所以 BG//CF ，则 ABBC=AGGF ， 同理，由 α//β ，可得 GE//AD ，则 DEEF=AGGF ． 所以 ABBC=DEEF ； ( Ⅱ ) 因为 BG//CF ， GE//AD ，所以 ∠BGE( 或其补角 ) 就是直线AD与CF所成的角． 因为 ABAC=BGCF=12 ， GFAF=GEAD=12 ，所以 BG=2 ， GE=1 ， 又 BE=7 ， CF=4 ， 由余弦定理可得 cos∠BGE=1+4−74=−12 ，得 ∠BGE=120∘ ． 即直线AD与CF所成的角为 60∘ ．

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