题目

如图1，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于 ， 两点，以 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形 .点 为直角顶点，连接 . （1） 点坐标为， 点坐标为. （2） 请你过点 作 轴于 点，试探究并证明 与 的数量关系. （3） 如图2，将线段 绕点 沿顺时针方向旋转至 ，且 ，延长 交直线 于点 ，求点 的坐标. 答案： 【1】（4，0）【2】（0，2） 解： OB+OA=2CE ，理由如下： 如图，过点 C 作 CE⊥y 轴于 E 点，过点C作 CF⊥x 轴于点F， ∴ ∠CEO=∠CFO=∠AFC=∠EOF=90° ， ∴四边形OECF是矩形， ∴ ∠ECF=90° ， ∵ △ABC 为等腰直角三角形， ∴BC=AC， ∠BCA=90° ， ∴ ∠BCE=∠ACF ， ∴ △BCE≅△ACF(AAS) ， ∴CE=CF，BE=AF， ∴四边形OECF是正方形， ∴OE=OF=CE， ∴OB+OA=OE-BE+OF+AF=OE+OF=2CE 解：如图，过点D作DQ⊥y轴于点Q，DM⊥x轴于点M， 设D（a，b）， ∴ DM=OQ=−b ， DF=a ，AM=4-a， ∵OB=2，OA=4， ∴ AB=OA2+OB2=22+42=25 ， AD2=(4−a)2+b2   ∴BQ=2-b， OD2=a2+b2 ， ∵线段 AB 绕点 B 沿顺时针方向旋转至 BD ， ∴ BD=AB=25 ， 在 Rt△BDQ 中， BQ2+DQ2=BD2 ， 即 (2−b)2+a2=(25)2=20 ①， 又∵ OD⊥AD ， 在 Rt△OAD 中， OD2+AD2=OA2 ，     即 a2+b2+(a−4)2+b2=42 ②， 联立①②，解得： {a=2b=−2 ， ∴点D的坐标为（2，-2） 设直线PD的解析式为 y=kx(k≠0) ， 将点D（2，-2）代入得： −2=2k ，解得：k=-1， ∴直线PD的解析式为y=-x， ∵ DO 交直线 y=x+5 于点 P ， ∴联立，得： {y=x+5y=−x ，解得： {x=−52y=52 ， ∴点 P 的坐标为 (−52，52)

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