题目

已知集合 . （1） 判断8、9、10是否属于 ，并证明； （2） 已知集合 ，证明 的一个充分不必要条件是 ； （3） 写出所有满足集合 的偶数. 答案： 解： ∵8=32−1 ， 9=52−42 ， ∴8∈A ， 9∈A ， 假设 10=m2−n2 ， m 、 n∈Z ， 则 (|m|+|n|)(|m|−|n|)=10 ，且 |m|+|n|>|m|−|n|>0 ， ∵10=1×10=2×5 ， ∴{|m|+|n|=10|m|−|n|=1 ，或 {|m|+|n|=5|m|−|n|=2 ，显然均无整数解， ∴10∉M ， ∴8∈A ， 9∈A ， 10∉A 解： ∵ 集合 B={x|x=2k+1，k∈Z} ，则恒有 2k+1=(k+1)2−k2 ， ∴2k+1∈A ， 即一切奇数都属于 A ，所以， B⊆A ， 又 ∵8∈A ，但 8∉B ，所以， B Ü A ， 因此，“ x∈A ”的一个充分非必要条件是“ x∈B ”； 解：集合 A={x|x=m2−n2，m，n∈Z} ， m2−n2=(m+n)(m−n) 成立， ①当 m 、 n 同奇或同偶时， m+n 、 m−n 均为偶数， (m+n)(m−n) 为4的倍数； ②当 m 、 n 一奇、一偶时， m+n 、 m−n 均为奇数， (m+n)(m−n) 为奇数； ③当 m 、 n 都是偶数时， m+n 、 m−n 均为偶数， (m+n)(m−n) 为4的倍数. 综上所有满足集合 A 的偶数为 4k(k∈Z) .

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