题目

如图，平面直角坐标系中，直线1分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为 ， ，过点B的直线 与x轴交于点C. （1） 求直线l的解析式及点C的坐标. （2） 点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动( )，过点D分别作 ， ， 交 、 于点E、F，连接 ，点G为 的中点. ①判断四边形 的形状并证明； ②求出t为何值时线段DG的长最短. （3） 点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为项点的四边形是菱形?若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由. 答案： 解：∵ A(1,0) ， ∴ OA=1 又根据题意 ∠ABO=30° ， ∴ AB=2 ， OB=3 ∴ B(0,3) 设 l 解析式为 y=kx+b 代入 A(1,0) ， B(0,3) {0=k+b3=b 得 {k=−3b=3 ∴ l 的解析式： y=−3x+3 ∵ B(0,3) 在直线 y=33x+m 上， ∴ m=3 ， ∴ lBC ： y=33x+3 ， ∵点C在x轴上， ∴ C(−3,0) 解：如图： ①∵ OB=3 ， OC=3 ，OA=1， ∴ BC=32+(3)2=23 ， AB=12+(3)2=2 （勾股定理）， ∴ ∠CBO=60° ， ∠ABO=30° ∴ ∠CBA=90° ， 又∵ DF//CB ， DE//AB ， ∴四边形 DEBF 是平行四边形（两组对边分别平行）， ∴四边形 DEBF 为矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）， ②∵四边形 DEBF 为矩形 ∴ EF=BD （矩形对角线相等）， 又因为 G 为 EF 中点， ∴ DG=12EF=12BD ，即G为矩形对角线的交点， 要使DG最短，也就是DB最短， ∴只有BD⊥AC时，BD最短， ∴CD=3， ∴ t=3 解：如图2，在坐标平面内是存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，证明如下： 设 P(0,m) ， A(1,0) ， B(0,3) ∴直线AB的解析式为： y=−3x+3 ， 作a∥BP，则直线a的解析式为：x=1， 作b∥AP，则直线b的解析式为： y=mx+3 ， 作c∥BA，则直线c的解析式为： y=−3x+m ， 以A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，则 ΔABP 为等腰三角形 ①以AB为对角线时，有 {x＝1y＝−mx+3 ， ∴ Q1(1,−m+3) ， ∵四边形 Q1BPA 是菱形， ∴ Q1A=Q1B ，即： Q1A2=Q1B2 ， ∴ (−m+3)2=1+m2 ， ∴ m=33 ， ∴ Q1(1,233) ； ② 以AB为边时， 情况1：AP为对角线时， ∵ BA=2 ， OB=3 ， ∴ P(0,2+3) 或 (0,3−2) ， ∵AB的解析式为： y=−3x+3 ， AP的解析式为： y=−3x+3+2 或者 y=−3x+3−2 ， ∵四边形APQB是菱形， ∴点Q过点A且PQ∥y轴的直线上， ∴ Q2(1,2) 或者 Q3(1,−2) ， 情况2：以BP为对角线时， ∵ P(0,−3) 此时 Q4(−1,0) ， 故存在4点， Q1(1,233) ， Q2(1,2) ， Q3(1,−2) ， Q4(−1,0) ；

查看本题答案和解析