题目

小峰和同学探究一个问题:圆上的一点(不与已知直径端点重合)到圆直径两端点的距离与直径的数量关系.如图1，他们以 为直径作了一个圆，圆心为 ，在圆上取了三个不与点 重合的三点 ，连接 .   （1） 通过观察，可猜想 都是三角形.请用图2中的 来请证明你的猜想并写出 与 的数量关系. （2） 如图3，若 且 比 少 ，求圆 的直径 的长. （3） 如图4，动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发，沿直径 往点 运动，当运动到点 时停止在 (2)的条件下，当 秒时 ， 是等腰三角形. 答案： 【1】直角【2】证明:如图，连接 OC . ∵OA,OB,OC 都是圆 O 的半径， ∴OA=OB=OC ， ∴∠1=∠2,∠3=∠4 . ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180 ， ∴∠1+∠4=90° ， ∴△ABC 为直角三角形， ∴AC2+BC2=AB2 . 解：由 (1) 可知， △ABC 为直角三角形， ∠ACB=90° 同理，  △ABD 为直角三角形， ∠ADB=90° . 由勾股定理，得 AC2+BC2=AB2,AD2+BD2=AB2 . 设 BC 为 x ，则 AD=x+4 ，代入上式可得， 152+x2=72+(x+4)2 ， 解得 x=20 ， ∴BC=20 ， ∴AB=AC2+BC2=152+202=25 【1】6.25或 7.5 或9

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