题目

已知抛物线C的焦点F在轴上，过F且垂直于轴的直线交C于A（点在第一象限），B两点，且. （1） 求C的标准方程. （2） 已知为C的准线，过的直线交于M，（M，异于A，B）两点，证明：直线AM，和相交于一点. 答案： 解：设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0)，则F(p2，0)将x=p2代入y2=2px，可得|y|=p所以2p=4，则p=2所以抛物线C的标准方程失y2=4x. 证明：由（1）可知A(1，2)，B(1，−2)，设直线l1的方程为x=my+1，联立{y2=4x，x=my+1，则y2−4my−4=0设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4直线AM的方程为y=y1−2x1−1(x−1)+2，即y=4y1+2(x−1)+2.令x=−1，解得y=2y1−4y1+2；直线BN的方程为y=y2+2x2−1(x−1)−2，即y=4y2−2(x−1)−2.令x=−1，解得y=−2y2−4y2−2，因为2y1−4y1+2−2y2−4y2−2=−(y1−2)(y2−2)(y1+2)(y2+2)=−y1y2−2(y1+y2)+4y1y2+2(y1+y2)+4=1，所以直线AM，BN和l相交于一点.

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