题目

在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′． （1） 若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2） 点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标； （3） 若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标． 答案： 解：如图1中，∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0）．∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）可得：{ab+c=0c=416a+4b+c=0 ，解得： {a=−1b=3c=4 ，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+3x+4． 解：如图2中，连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y=kx+b，可得： {b=44k+b=0 ，解得： {k=−1b=4 ，∴直线AA′的函数解析式是y=﹣x+4．设M（x，﹣x2+3x+4），作MN∥y轴交AA′于N，则N（m，﹣m+4），S△AMA′= 12 ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2（x﹣2）2+8，∵﹣2＜0，∴x=2时，△AMA′的面积最大，最大面积为8，∴M（2，6）． 解：如图3中，设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，①当BQ为边时，PN∥BQ 且PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4．当﹣x2+3x+4=4时，x=0或3，可得P1（0，4），P2（3，4）；当﹣x2+3x+4=﹣4时，x= 3±412 ，可得P3（ 3+412 ，﹣4），P4（ 3−412 ，﹣4）．②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P1，P2的坐标不变；当这个平行四边形为矩形时，即P1（0，4），P2（3，4），N1（0，0），N2（3，0）．综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（ 3+412 ，﹣4），P4（ 3−412 ，﹣4）．时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0），N2（3，0）．

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