题目

椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且 。 （1） 求椭圆 的方程； （2） 设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 答案： 解：由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b） 又点P的坐标为（0，1），且 PC→⋅PD→ ＝－1 于是 {1−b2=−1ca=22a2−b2=c2 ，解得a＝2，b＝ 2 所以椭圆E方程为 x24+y22=1 解：当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1 A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2） 联立 {x24+y22=1y=kx+1 ，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0 所以 x1+x2=−4k2k2+1,x1x2=−22k2+1 从而 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→ ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1 ＝ (−2λ−4)k2+(−2λ−1)2k2+1 ＝－ λ−12k21−λ−2 所以，当λ＝1时，－ λ−12k21−λ−2 ＝－3， 此时， OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→ ＝－3为定值. 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→=OC→⋅OD→+PC→⋅PD→ ＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝1，使得 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→ 为定值－3.

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