题目

某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决: （1） [数学理解] 点 是线段 垂直平分线上的一点，则 的值为； （2） [拓展延伸] 在平面直角坐标系 中，点 ， 点 在 轴上，且 ， 则点 的坐标为. （3） 经小组探究发现，如图，延长线段 到点 ，使 ，以点 为圆心， 长为半径作园，则对于 ⊙F上任一点 ，都有 ，请你证明这个结论:   （4） [问题解决] 如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河 从码头 到码头 ，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处 ，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河 边上确定码头 的位置. (请画出示意图并简要说明理由) 答案： 【1】1 【1】（ (4,0) 或 (12,0) 如图，连接 TF ， ∵ EF=13DF ， DF=EF+DE ， ∴ DF=4EF ， ∵ ⊙F 的半径为 2EF ， ∴ TF=2EF ， ∴ EFTF=12 . ∴ TFDF=2EF4EF=12 ， ∴ EFTF=TFDF . ∵ ∠EFT=∠TFD ， ∴ ΔEFT∼ΔTFD ∴ ETTD=TFDF=12 . ∴ TD=2TE . 如图，在线段 GH 上作点 I ，使 GI=14GH ， 在线段 HG 的延长线上作点 J ，使 JG=12GH . 以 IJ 的中点 K 为圆心， KJ 为半径作 ⊙K ，则 ⊙K 与河边 l 的交点为所求点 M 的位置. 简要理由: 由于水路速度为陆路速度的 13 ，且时间相等，所以水路的距离必为陆路距离的 13 ，即需 GMHM=13 ，连接 KM ，同(3)可证， ΔKMG∼ΔKHM ， 由此，得 GMHM=KMKH=13 .

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